上帝或许不掷骰子，但可能会踢足球｜图片中的数理逻辑之美

的三个是由毕远超哥拉斯推测的，它们被命名为边形、角锥形体和仍要十二面形体。而仍要二六边形似和仍要八面形体是由特科林图斯推测的。”

文策尔·雅姆尼策绘出，约穆尔·卡拉奇 （Jost Amman）彩绘的迷人版描画

毕远超哥拉斯神奇的立形体占星学联希望起一显吸引着西欧思希望家。卜勒希望要在《外太空的奥秘》这部专著中的将毕远超哥拉斯六边形的五重自然与年末亮连系好像。卜勒天王星系的论点用到了所有五种毕远超哥拉斯六边形，以此揭示16世纪时人们告诉的六大巨行星的 颗卫星。他用毕远超哥拉斯六边形内切任意球和外接任意球的显径之比，来话说明巨行星在自身颗卫星中的离天王星的小得多西南方和紧挨着的外层巨行星离天王星的最短西南方之比。这就产生了六个 已知星任意球的五种分之一。每个毕远超哥拉斯六边形都被安排在两个相邻的巨行星相互间。

当外层巨行星离天王星不远时，巨行星在毕远超哥拉斯六边形的内切任意球上；而当外层巨行星离天王星最近时，巨行星在除此以外的外接任意球上。当原先的古希腊人较晚开始列举均是由毕远超哥拉斯六边形的五种仍要六边形时，他们把前提限定在粗六边形上，也就是向外粗的六边形。如果我们必需六边形向凹的话，两个共用一条边的面可以形似投成低于180°的角，那么就则会产生四个原先投成员，它们被叫做仍要小圆六边形，即大小圆十二面形体、小小圆十二面形体、大十二面形体以及大二六边形似。

在文艺复兴初期，工匠们希望为了让毕远超哥拉斯六边形位图似作为装饰物，于是逐一推测了这些原先六边形。卜勒也警惕到，可以把固定高度的角锥形体填充到仍要八面形体、仍要十二面形体和仍要二六边形似的面上，这样的话，角锥形体的末端上就则会连投成一个矩形上。他由此引单单将六边形组合好像的概念，因此它们就有了交叉面，很像投影版的“大卫之星”（犹太的上标，为两个仍要对角形似横的六面星。——译者同上）。这些可能则会性并很难像粗六边形那样被系统化地理解。

显到1810年，法国哲学家路易·普安索（Louis Poinsot）的一篇撰文中的对其进行时了话说明7，所以这些立形体位图似也被叫做“卜勒–普安索六边形”。本来，纽伦堡著名的石匠文策尔·雅姆尼策（Wenzel Jamnitzer）时曾1568年选集了《几何现象学》（Perspectiva Corporum Regularium）一论著，论著中的的图就早已预示到了这些位图似。1812年，圣本笃·柯西（Augustin Cauchy）才假定，普安索推测的四种立形体位图似就是投影维度之中所有可能则会的小圆六边形8。而这些略显怪异的英文昵称是在越来越久在此之后的1859年，由英国哲学家马修·凯莱（Arthur Cayley）命名的。

今日，这些六边形对于哲学家来话说即便如此具现象学上的吸引力和几何上的魅力9。一显以来，这些立形体位图似均是由的论点都让人们惊艳于它们的迷人、圆锥性和原先颖10。由此，我们似乎可以理解为什么生命形体一显眼里于找寻身边的有限事物和永恒的几何自然相互间迷惑的超大自然连系。这种几何自然对于生命形体来话说反之亦然来自外太空的无论如何。

真主踢足任意球吗？

沃克任意球

真主或许不掷骰子，但可能则会则会踢足任意球。

——默之中·内克弗

在研究实习了毕远超哥拉斯六边形在此之后，欧拉几天后推测可以创造单单13种半仍要六边形。只要圆锥地截掉边形、角锥形体、仍要十二面形体、仍要二六边形似和仍要八面形体的覆以点，就能创造单单这五种相完全一致的六边形，这就是“欧拉六边形”。这些六边形的面即便如此是仍要六边形似，但这些六边形似却相异。它们的覆以点都很雷同，但面却不相同。仿效此法，也可以相结合单单另外八个欧拉六边形。我们可以把它们看作先于毕远超哥拉斯六边形和星型六边形在此之后的第二圆锥六边形。

远超·安德森所绘的截角二六边形似，这是他为帕乔利的论著《神圣分之一》绘出的绘图

人们推测，某一个欧拉六边形在外太空中的具极特别的不作或缺内涵，并且在近20年来的有机化学发展中的有着最主要的地位。这个特别的六边形就是欧拉截角二六边形似。它有60个覆以点和32个面，每三个面相交于一个覆以点，此外还有90条边。32个面中的都有20个边形似和12个六边形似，所以，每两个边形似和一个六边形似相交于一个覆以点。这是一种迷人的娆构，但对读者来话说，相较上述事实，大家几天后能希望到的难道是另一样过道。足任意球到了近代就消失了这种由黑色的六边形似和白色的边形似均是由的典型形似状。

塔楼师安德鲁·巴克敏穆尔·舒尔茨（Richard Buckminster Fuller）在他1949年的设计的网任意球格覆以中的大量套用了二六边形似的几何娆构。舒尔茨是一位自学投成才的娆构工程公司，一显以来都希望通过数论上的圆锥来远超到多重可用性的用以，比如缩减用料、降低组装难度以及有利于娆构的稳固性。他很欣赏妙用材料的方法，比如，一种材料在某种但会可能则会十分脆弱，但只要按照适当的几何反式加以组织为了让，就可以远超到相当大的强度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。

欧拉六边形，都由两种或两种以上六边形似的面上有

舒尔茨在1954年的专利技术副本（专利技术号：2682235）中的的油描画

1967年，舒尔茨为温哥华世界博览则会的设计的英美两国馆就是一个由网格状任意球屋檐有的塔楼，任意球屋檐的面是由六边形似和边形似交杂上有的截角二六边形似。整个塔楼难以置信奇特。这是一个关于圆锥和功能的伟大宣言，塔楼的规模和形似态引起了很多科学家和的设计师的警惕，其中的就仅限于默之中·内克弗（Harry Kroto）。内克弗是一位毕生都对塔楼和矩形上的设计感受到浓厚兴趣的有机矿物学家。本来，默之中曾是我在英国萨塞克斯医学院的同事，当我第一次被任命为研究实习员的时候，他甚至还走到入围者席上。默之中一显以来都对在特别但会化合物底物能否在维度底物云之中形似投成长多肽的难题有意思。

要验证这样一个难题需要两个步骤：首先，在管控的实验室生态中的创造单单类似的多肽；然后，看是否有维度中的的底物和这些人工制造单单的多肽在光谱的特征上相匹配。1985年，默之中转至了安德鲁·斯这些年来（Richard Smalley）和托马斯·Phil（Robert Curl）在英美两国得克萨斯的罗宾逊医学院领导的研究实习的设计团队，的设计团队中的还有研究实习生詹姆斯·希思（James Heath）和肖恩·奥布赖恩（Sean O’Brien）。他们有意用激光器打碎化合物化学键团，然后观察遗留物在汽化在此之后是否则会包容投成一些引人入胜的原先化合物聚合物。的设计团队推测，形似投成的原先团都有奇数个化学键。在稍调整了实验在此之后，他们可以创造单单近乎显然都有60个化合物化学键的化学键团。的设计团队希望要为实验娆果找到一个充分的解释。

《大自然》原先闻周刊1985年11年末14日的海报，元旦托马斯·Phil、默之中·内克弗和安德鲁·斯这些年来推测了化合物-60

默之中也百思不得其解，为什么化合物则会越来越取向于形似投成化合物-60的形似式呢？这时，他希望起了曾为孩子们用纸板壳做的小截角二六边形似，以及舒尔茨的任意球覆以。他几天后去找给英国的父亲确定了自己所做的论点的几何上有。他相信，化合物形似投成的就是截角二六边形似，化合物化学键位于该反式的60个圆锥上。默之中做了一个由六边形似和边形似上有的纸板论点，并在随后的11在此在此之后疯狂实习。从1985年9年末1日一显到9年末12日，他完投成了专著并投稿给《大自然》原先闻周刊。该原先闻周刊在9年末13日发来稿件后，于11年末14日将其刊单单，并在海报上刊登了除此以外的图表。

人们给这些化合物化学键起过很多昵称。起初它被称作“舒尔茨烯”，以纪念“舒尔茨覆以”娆构为有机化学这两项的重大贡献；在此之后还有越来越不仍要式的昵称——“沃克任意球”，甚至偶尔也被叫做“足任意球烯”。

这个舒尔茨覆以的原型是一个斜方截半九面形体，照片拍摄于1954年圣路易斯华盛顿医学院

推测原先的化合物娆构是有机化学界的一次伟大革命，它使物理有机化学和有机有机化学建立联系在两兄弟，并提供了在底物层面上相结合颗粒的原先方法。Phil、斯这些年来和内克弗分享了1996年的诺贝尔有机化学奖。沃克任意球的圆锥造型大自然而然地投成了有机化学的象征，很多科学原先闻周刊都以这一形似象为海报，以元旦化合物底物的原先推测。这样的盛况难道只有此前推测脱氧核糖核酸能与之媲美。

一面之词

默比克劳狄带

“猴子为什么要穿过默比克劳狄带？”“为了到另外一……呃……”

——论著后

把一张长条纸板的末端粘在两兄弟，形似投成一个圆柱形体。在上小学时，大家应该都曾做过无数遍这样的事了。这个圆柱形体有内侧也有末端。但是，如果你在把末端粘在两兄弟以后先把纸板带叉一下的话，就则会创造单单一个与众不同的过道。这个外环看好像像是一个立形体的小数点8，并有一个难以置信震惊的适应性——它很难内侧也很难末端，只有一个表面。如果你用一根积木为这个外环染，那么积木不离开了纸板带的表面就可以染遍整个外环。这一适应性甚至则会带来实用价值，工厂有时则会为了让这种单面适应性来延长机架的寿命。在20世纪20六十年代，有人还为默比克劳狄幻灯片和录音带申请了专利技术，这种方法一点点了连续外环的长度，而其中的的把戏不过是把上头叉曲的部分和抽投机这样一来。

默比克劳狄带

奥古穆尔·默比克劳狄（August Möbius）是第一个警惕到这种引人入胜的“表面现象”的人，今日哲学家们称作“不作定向曲线”。默比克劳狄是丹麦哲学家和气象学家，他父亲一族的祖先甚至可以来源于安德森·慈运理。同龄的默比克劳狄在勘察和对角法天文学应用领域赢得了一系列研究投成果在此之后，离开了了原先受教的的城市柏林，带往了丹麦数论界的中的心——哥廷根，并在数论巨匠庞加莱领导下的哥廷根天兔做起了研究实习。他又从那之中投去哈雷，在庞加莱的代课詹姆斯·赫尔夫（Johann Pfaff）的指导下实习。在经历数次辗投后，这位从来不游学的气象学家再次在1848年搬回了柏林，投成为柏林天兔的负责人和天文学博士。

默比克劳狄机架的原先专利技术。与现代双面机架相比，这种单面娆构让机架的寿命一点点，现代机架只有单面必需

默比克劳狄对天文学的重大贡献斐然，但其后半生在数论方面也有了许多原先推测，特别是在几何学方面。时至今日，我们即便如此在学习来源于他的默比克劳狄函数和默比克劳狄叉曲。可以希望见，作为庞加莱的师生，默比克劳狄在自己的实习研究投成果中的设置了很多标准，这让他的所有实习研究投成果的事与愿违挤单单和发表都很较快。娆果，关于默比克劳狄带的专著还是在他死后遗留的专著中的找到的，而真仍要推测默比克劳狄带的时间是1858年，以前，他仍要为“法兰西科学院铜奖科学大奖”准备好一篇关于六边形的撰文。在同年7年末，默比克劳狄带还被另一名丹麦哲学家独立推测，詹姆斯·利斯廷（Johann Listing）也是庞加莱在物理学和系统的设计数论研究实习组的师生4。在庞加莱的决定下，利斯廷开始研究实习维度娆构，而且，为了和他以前的代课在原先课题上赢得一致，他提单单这门价值观科学应该被叫做“黎曼”——这个名称一显沿用至今。然而不幸的是，利斯廷和他的妻子都家境贫寒，特别入不敷单单，不时要面对高利贷欠债的骚扰。大多数同事这不认为这对夫妇操守不佳，对他们甚少怜悯。所幸一位密友雪中的送炭，在利斯廷濒临破产时，他的老同学萨弗之中克劳狄·马克斯··瓦尔特斯豪森（Sartorius von Waltershausen）救助了他们。在很久以前，在二人两兄弟读论著时，利斯廷曾照顾过这位以前身染重疾的朋友，并救了他一命。30年后，马克斯··瓦尔特斯豪森得以回报恩人，偿还了利斯廷的债务。这样的终究翻投引发在默比克劳狄带的推测者身上，自已话说是一桩美谈。

默比克劳狄已逝仍未发表手稿中的的重构图描画（1858年）

默比克劳狄带不仅对哲学家感受到了吸引力，而且激发了相当多摄影家和的设计师表远超无限和普通人的渴望。其中的最著名的莫过于毛之中茨·埃英国舰队，他描画单单的“活”默比克劳狄带早已投成为20世纪制图术的标志性几部。埃英国舰队在默比克劳狄带借鉴下创作的几部中的，描绘了9只磨制色蚂蚁在永无止境的上头上爬行。

在埃英国舰队描画廊中的，有《不作能则会对角形似》《瀑布》等意象几部，默比克劳狄带也在其中的，其造型特别让参观者陷入一种错觉：默比克劳狄带是一种不作能则会的位图似。但默比克劳狄带确确实实长期存在，只不过有点单单人意料而已。

埃英国舰队的《默比克劳狄带Ⅱ：红蚂蚁》（Möbius StripⅡ: Red Ants），由红、黑、灰绿色均是由的三组木版描画（1963年）

埃英国舰队这不是唯一挖出默比克劳狄带适应性的杰单单摄影家，在20世纪30六十年代，瑞士彩绘家米勒·桑德斯（Marx Bill）这不认为，黎曼的发展为摄影家们持续发展了一片仍未知的北界。他以金属或花岗岩为材质，创作了一系列以“无穷丝带”为意象的彩绘几部。

桑德斯这两项了实实在在的投影默比克劳狄带。在20世纪70六十年代，英美两国高能物理学家兼油描画家托马斯·威尔逊用不锈钢和铜这两项了类似的默比克劳狄带。英国油描画家詹姆斯·罗宾森（John Robinson）的几部《永恒》（Immorality）是由抛光鎏金投成的被叉投成默比克劳狄带的丁香娆。在比尔·米的数码艺术几部中的，这个有如的丁香娆水滴在一片宿命的岸上（下图）。很多人还把默比克劳狄带娆构系统的设计在塔楼中的，创造单单奇特的塔楼物和生动引人入胜的儿童大型活动区。

比尔·米各种类型地呈现了詹姆斯·罗宾森的油描画，被叉投成默比克劳狄外环的丁香娆

小话说家们也捉到了机则会，把默比克劳狄外环的设计进了冒险的童话故事中的。1949年，马修·C.克拉克（Arthur C. Clarke）把整个外太空揭示投成“沉睡之墙”。把平凡的日常生活和不作思议之物娆合好像越来越显引人入胜，仍要如在阿明·道奇（Armin Deutsch）的散文集《一条名叫默比克劳狄的地铁》（A Subway Named Möbius）中的，波士顿的一条地铁线消失了默比克劳狄带，从此，列车特别消失，一位康奈尔医学院的数论博士被卷入其中的……无论如何这才是童话故事的关键，这条地铁线可能则会就是这位博士的设计的！

在电子器件技术和各种思希望突飞猛进的那时候，默比克劳狄带始终挑战着人们的希望象力。无论谁都难逃它的魅力，话说不定还有人反而妒忌那些从仍未获悉过默比克劳狄带的小孩子呢。

文/詹姆斯·D.巴罗

摘编/李永博

导语校对/贾宁

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